第十二届全国周培源大学生力学竞赛个人赛试题

第一部分 基础题部分(共60分)

第1题(30分)

图示铅垂平面内的系统，T形杆质量为m1，对质心C的转动惯量为J1；圆盘半径为R，质量为m2，对质心O的转动惯量为J2；杆和盘光滑铰接于点O，=s。设重力加速度为g、地面和盘间的静摩擦因数为μ0、动摩擦因数为μ，不计滚动摩阻。

第1题图

(1)如图(a)，盘以匀角速度ω沿水平地面向右作纯滚动。为使杆保持与铅垂方向夹角θ(0 6θ<π/2)不变，需在杆上施加多大的力偶矩M1?并求此时地面作用于盘的摩擦力F；(5分)

(2)如图(b)，当盘上施加顺时针的常力偶矩M2，同时M1=0，杆作平移，分析圆盘的可能运动，并求杆与铅垂方向夹角β、盘的角加速度ε及地面对盘的摩擦力F。(25分)

解答

(1)M1=m1gssinθ，F=0。

(2)圆盘不打滑(纯滚动)时

圆盘打滑(又滚又滑)时

第2题(30分)

如图所示宽为b的矩形截面三层复合梁，各层固结为一体；已知各层材料弹性模量分别为E1，E2和E3，相应的厚度分别为h1，h2和h3，其中E1=E3=E2/5=E，h1=h2=h3/50=h。对其进行四点弯曲试验。

(1)试求中性层的位置；(15分)

(2)设弯曲后BC段中性层曲率半径为ρ，试写出该段横截面上的正应力与ρ的关系，画出正应力的分布图；(9分)

(3)当层2断裂时，层1和层3仍为线弹性变形，BC段梁上缘的曲率半径为R，由此计算层2材料的强度极限σb。(6分)

解答：

(1)建立Oyz坐标系如下图

中心轴位置y0=24.25h；

(2)BC段正应力表达式如下

正应力分布如下图所示：

(3)2层开裂时，材料强度极限

第二部分 提高题部分(共60分)

第3题(30分)

在真空中处于失重状态的均质球形刚体，其半径r=1m，质量M=2.5kg，对直径的转动惯量J=1kg·m2，球体固连坐标系Oxyz如图所示。另有质量m=1kg的质点A在内力驱动下沿球体大圆上的光滑无质量管道(位于Oxy平面内)以相对速度vr=1 m/s运动。初始时，系统质心速度为零，质点A在x轴上。

第3题图

(1)试判断系统自由度；(3分)

(2)当球体初始角速度ωx0=0;ωy0=0;ωz0=1/s时，求球心O的绝对速度vO，球体的角速度沿z轴分量ωz，质点A的绝对速度vA和绝对加速度aA；(17分)

(3)当球体初始角速度ωx0=1/s;ωy0=0;ωz0=0.4/s时，求球体的角速度ω和角加速度ε。(提示：建立另一个动系Ox′y′z′，使质点A始终在x′轴上)(10分)

解答：

(1)系统自由度为：6。

(2)

(3)ω=ω1e1+ω2e2+ω3e3，其中ω1=1，ω2=0，ω3=0.4，ε=e2。e1,e2,e3为动系Ox′y′z′三个轴的单位矢量，动系Ox′y′z′的x′轴总是在质点A上，z′轴与固连系的z轴一致。

第4题(20分)

如图(a)所示，截面初始半径为R、密度为ρ的圆柱体AB(材料不可压缩)竖直悬挂，在重力作用下(重力加速度为g)变形。

(1)截面C变形前距A端为x，试求悬挂后该截面轴力；(3分)

(2)设变形后轴力与变形的关系为F=πr2G(λ2?)，其中G为剪切模量，λ和λr为轴向和径向的伸长比(伸长比定义如图(b)所示)。试根据题设推导λ和λr之间的关系，并建立变形后截面半径r随初始截面位置x的变化关系；(10分)

第4题图

(3)若将变形后A′C′段(测得其长度为x′)近似为圆台，试求材料的剪切模量G。(7分)

解答：

(1)截面C′处的轴力：F=ρπR2xg；

(2)λ和λr之间的关系：λ·=1；

r随x的变化关系

(3) 材料剪切模量：，其中

第5题(10分)

如图(a)所示，弹性软基体中有一细长等截面梁，弯曲刚度EI，梁受轴向压缩。

(1)若将弹性基体等效为分布弹簧，其刚度为K(弹性基体对梁单位长度上产生单位挠度时的反力)，试根据图(b)建立分析该长梁失稳的平衡微分方程；(3分)

(2)假设失稳模式为，试求梁发生失稳时的临界载荷Fcr和临界失稳波长λcr。(7分)

解答：

(1)梁的平衡微分方程

(2)临界载荷临界失稳波长

第5题图

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2021/0330/1324.html