巧构图形 妙解试题

本文以竞赛、自主招生中的部分试题为例,由代数表示联想到其几何意义,通过构造图形,使复杂问题得到直观、生动的解决.

一、构造线段,利用两点之间线段距离最短

例1(2007年泰国数学奥林匹克试题)设a,b,c是正实数,求证:

证明如图1,设|RP|=a,|RO|=b,|RQ|=c,∠PRO=∠QRO=45°,则由|OP|+|OQ|≥|PQ|,即得所证不等式成立.

评注由表达式的几何意义联想余弦定理,构建三角形模型,使问题顺利获解.

例2(2019年北京大学自主招生试题)若a,b∈R+,求满足不等式的实数x的取值范围.

解如图2,在平面直角坐标系xOy中,取点A(a,0),B(0,b),则直线AB的方程为且

记则点C的轨迹方程为y=x,原不等式的几何意义为|AC|+|BC|≤|AB|.而事实上,|AC|+|BC|≥|AB|,故|AC|+|BC|=|AB|,联立与y=x,得进而所以,题设实数x的取值范围是

评注本题将例1中的c换成b,b换成x,同时将x的范围从正数扩充到全体实数(非正数显然不满足题意),改变的是形式,不变的是本质.值得注意的是,条件中的x并非点C的横坐标,而是有向线段OC的数量.

例3(《数学教学》903号问题)已知正数a,b,c满足a+b+c=8,求证:

证明如图3,Rt?PM1P1,Rt?P1M2P2,Rt?P2M3Q的直角边长分别为a和1,b和2,c和3,则，当且仅当时取等号.

评注例1与例2为两条线段和的最小值(三点共线)问题,例3为三条线段和的最小值问题,构造图形的难度增大.更一般地,对正数ai,bi(i=1,2,…,n),有当且仅当ai=kbi(k为常数)时等号成立.

例4(《数学通讯》399号问题)在?ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c.求证:

证明依题意,b+c>a,c+a>b,a+b>c,作以b+c为边长的正方形A1A2A3A4,在边上分别取点B1,B2,B3,B4如图4,使A2B1=A3B2=A3B3=A4B4=a,则有B1B3=b+c,A2B2=b+c-a.

在Rt?B2A3B3中,有在Rt?B1A2B3中,有又在?A2B2B3中,有A2B2+B2B3>A2B3，即同理以上三个式子相加即得结论.

评注如何想到是解题的关键.事实上,从三角形内切圆的角度,设a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z>0,则

二、构造线段,利用两边之差小于第三边

例5(2020年四川省预赛题)设函数则f(x)的最大值是______.

解法它表示横轴上点P(x,0)到点的距离之差的倍.显然等号在点P为直线CD与x轴的交点时成立,故f(x)的最大值为5.

解法它表示直线y=x上的动点P(x,x)到点A(-5,4)、B(-2,0)的距离之差.显然|PA|-|PB|≤|AB|=5,等号在点P为直线AB与y=x的交点时成立,故f(x)取得最大值为5.

三、构造向量,利用等和线

例6(2020年四川省预赛题)在平面直角坐标系下,点A(1,2),B(3,0),点P为圆(x-3)2+)(y-2)2=1上任意一点,设则11λ+9μ的最小值是______.

解法1可设P(3+cosθ,2+sinθ),由得λ+3μ=3+cosθ且2λ=2+sinθ,则11λ+9μ=3(λ+3μ)+8λ=17+3cosθ+4sinθ=17+5sin(θ+φ)≥12,其中当且仅当即时等号成立 故所求最小值是12.

解法2设则直线CD的方程为3x+4y=1.设3x+4y=z,由点P为圆上任意一点,圆心M(3,2)到直线3x+4y=z的距离解得12≤z≤22.所以,11λ+9μ的最小值是12.

评注解法1由圆的参数方程将11λ+9μ表示为θ的函数,问题转化为求函数的最值;解法2基于共线向量定理改换基底,利用几何意义直奔目标.

例7(2020年浙江省初赛题)设平面上三个单位向量a,b,c不共线,满足a+b+c=0,若0≤t≤1,则|-2a+tb+(1-t)c|的取值范围为______.

解记由题意知a,b,c两两夹角为120°.

由0≤t≤1,得点D在线段CB上.记则

如图5,易见点D为线段CB的端点(即t=0或1)时,|ED|取最大值点D为线段CB的中点时,|ED|取最小值故所求取值范围为

评注先用向量的三点共线定理确定点D的轨迹,再结合向量的减法将求解目标的几何意义直观呈现,结果水落石出.

四、构造圆,利用两点间距离

例8(2018年德国奥林匹克数学选拔赛题)已知x∈R,x≠0,求函数的最小值.

解设点则点A在圆Q:(x+1)2+(y-1)2=1上,点B在双曲线上,且f(x)=|AB|2.

由知点B在圆Q外.如图6,当|AB|取最小值时,点B到圆心Q的距离也必达到最小.

设要使g(x)取最小值,必有令g′(x)=0,得x=1.易见所求最小值为

五、构造三角形,利用三角函数关系

例9(2019年加拿大数学奥林匹克试题)求值:

(1)4sin 40°-tan 40°;

(2)4sin 20°+tan 20°.

解(1)如图7,作Rt?ABC,使作等腰?ABG,使∠BAG=∠BGA=50°,作BE⊥AG于点E,则AG=4sin 40°;延长GB与AC交延长线于点F,则CF=tan 40°.

在?AGF中,由∠AGF=∠AFG=50°,得AG=AF=4sin 40°,故

(2)如图8,作Rt?ABC,使AB=2,BC=作等腰三角形ABF,使∠BAF=∠AFB=70°,BF交AC于点E,作BD⊥AF于点D，则在Rt?ABD中,∠ABD=20°,AB=2,易得AD=2sin 20°,AF=4sin 20°.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2021/0115/965.html