小题更需要精致^* ——以一道2019(2)

图7

诊断分析如图7，正方形ABCD的面积是正方形EFGH的5倍，得出

过点O作OT⊥AB于点T,在Rt△OMT中，可以求出从而

求解时综合应用了图形的面积、三角函数以及勾股定理等知识，但思路方法单一.继续探索改变折叠的方法，保持本方案中5个图形的面积相等，尝试给出一定的条件,来探究图形中各个线段之间的关系，形成第5稿.

图8

第5稿(定稿)将一张正方形纸片按如图8所示的步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，FM,GN为折痕.若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是

诊断分析修改后的试题关注了展开图与原图形的联系与变化，无论从原图形(图①)出发画出折叠的痕迹，或从图④出发还原成展开图，还是从展开图(图⑤)出发补充折痕，都能找到求解的思路.具体解法有：

解法1如图9，设OF=x,FM=y,则四边形EFGH的面积为

五边形MCNGF的面积为

从而

解得

故

图9 图10

解法2如图10，设OF=x,根据

得到

从而

解法3如图10，联结MN,则

从而

利用相似三角形的性质得到

设故

解法4由得出对应边长的比为设GF=2t,则从而

故

图11

解法5如图11,联结OA，找出图8④中对应的△OAQ，由于裁剪得到的是正方形，从而HE⊥OA于点P,根据△OPE∽△OAQ,得到

即

故

4 命题反思

该试题的编制过程采用“选择学习情境，研究探究方向，设计多种选项”的方法，通过不断尝试，形成试题，这给编制数学选择试题带来很多启发.

4.1 选择学习情境

为了实现对学生核心素养的真正考查，需要选择一个蕴含数学知识、具有良好数学结构的学习情境.让学生自然融入其中，在辨析、推理、计算验证的过程中，激活学生自身储备的数学知识和数学能力.本题以正方形的折叠为学习情境，来自教材中的折叠操作，为学生所熟悉，可以确保情境的公平性.给出折叠过程的示意图，为学生提供了探究、发现和思考的空间，很好地考查了学生对折叠相关知识的理解、掌握和灵活运用的程度.只要学生结合文字信息，利用图中所蕴含的等量关系，用几何直观进行图形描述和分析问题即可解决，考查学生的空间观念、空间想象与活动经验的同时，突出对数形结合思想与合情推理能力的重视[2].

4.2 精心设置选项

图12

为了甄别学生思维过程中的水平与差异，考查学生对相关知识掌握的精确程度，需要非常重视各选项的设计.本题中各选项的设置都是基于学生在对折与展开的联系中可能发生的错误，以增加选项的干扰性和迷惑性.如有学生会错误地认为图9中点E,F,G,H分别是各边的中点，设OF=FM=t,得到从而得到错误的答案或如图12，有学生会错误地认为△NCG,△CPG,△CPF与△CFM这4个三角形都全等，得出FM=FP=PG=GN,从而得到错误的答案等.

4.3 落实核心素养

实验操作是培养学生观察想象和逻辑思维能力的重要载体，通过观察操作中的现象，猜想、验证自己的结论.本题以折叠操作的活动过程构成问题情境，全面考查正方形、直角三角形以及三角形全等、三角形相似、勾股定理等相关知识，这些知识的考查不是直接呈现的，而是隐藏在一个简洁的对折与展开互相联系的图形中，需要对图形不断提炼，根据图形特点联系知识，利用这些图形之间的全等、相似等关系，寻找边之间的数量关系，从而转化为方程使问题得到有效解决，有效考查学生的直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等所体现的核心素养.在画出图形求解过程中，不同的学生有不同的理解角度、不同的感悟，选择的方法就会各显特色.如在解法5中，找出图11中的△OAQ，判断出PE⊥OA后，若设PE=t,则利用两个三角形相似就较易得到结果，这样可以有效甄别直观想象、逻辑推理以及数学运算的不同水平.

[1] 教育部基础教育课程教材专家委员会．《义务教育数学课程标准(2011年版)》解读 [M]．北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 傅瑞琦.弯弓射箭 考出素养：2018年浙江省金华市数学中考第16题PISA类试题的设计[J]．中学教研(数学)，2018(12)：39-41.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2020/0709/365.html